MAPA – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – 52_2026

Uma indústria está projetando um tanque de armazenamento temporário de efluente líquido antes do envio
para o sistema de tratamento. O tanque possui base circular e um fundo com formato parabólico, projetado
para facilitar o escoamento de sólidos.
Durante o dimensionamento do sistema, a equipe de engenharia precisa avaliar:

• O volume máximo de armazenamento do tanque.
• A massa total de efluente armazenada, considerando variação de densidade com a profundidade.
  Para realizar essas análises, serão utilizadas ferramentas matemáticas estudadas em Cálculo Diferencial e
  Integral II, incluindo integrais múltiplas.
  Fonte: a autora, 2026.
  ETAPA 1. Volume do tanque
  O tanque está centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), sendo o eixo z orientado
  verticalmente.

O fundo do tanque possui formato de paraboloide e é descrito pela equação:
A base circular do tanque , vista no plano horizontal xy, possui raio interno de 2 m. Assim, os pontos da
base satisfazem a condição:
Na borda do tanque, onde x² + y² = 4, a equação do fundo fornece:
Esse valor corresponde ao nível máximo de operação do tanque .
Para maior entendimento, observe a Figura 1.
Figura 1 – Representação do tanque de armazenamento de efluentes.
Fonte: gerada por Gemini em 1 abr. 2026.
Tarefas
a) Escreva a integral dupla em coordenadas polares que representa o volume máximo do tanque. Neste
momento, não é necessário resolver.
b) Calcule o volume máximo do tanque .
ETAPA 2. Massa total do efluente
Durante a operação do tanque, a densidade do efluente não é constante devido à presença de sólidos
suspensos. A densidade varia com a altura no interior do tanque segundo a expressão: