MAPA CALCÚLO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 54/2025

Aplicação do Cálculo no Controle Térmico de Equipamentos Industriais

O cálculo matemático é uma ferramenta essencial para engenheiros em todas as áreas.
Ele permite modelar, analisar e prever o comportamento de sistemas reais presentes no dia a dia.

Mais do que executar operações, o engenheiro precisa interpretar os resultados para tomar decisões eficazes. Assim, é possível garantir segurança, eficiência e sustentabilidade em cada projeto.

Neste contexto, o profissional responsável pelo controle térmico de um equipamento industrial deve aplicar os conceitos aprendidos em Cálculo Diferencial e Integral para avaliar a variação da temperatura ao longo do tempo.
Essa interpretação prática orienta ações que reduzem o consumo de energia, mantêm a qualidade do produto e prolongam a vida útil do equipamento.

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🌡️ Situação-Problema

Em um processo industrial automatizado, o controle preciso da temperatura é fundamental para assegurar qualidade e segurança operacional.

Durante o funcionamento, a temperatura inicial do equipamento é ambiente. Após o início do processo, ela aumenta gradualmente por causa da reação química controlada que ocorre internamente.

A temperatura T(t), medida em graus Celsius, varia ao longo do tempo t (em minutos) segundo a função:

T(t) = [função fornecida no exercício]

Esse modelo mostra que a temperatura sobe rapidamente nos primeiros minutos e depois se aproxima de um limite estável.
Compreender esse comportamento é essencial para otimizar o consumo de energia e evitar danos por superaquecimento.

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📘 Questões

a) Determine a temperatura inicial do equipamento quando t = 0 e interprete o resultado dentro do contexto do processo.

b) Calcule o limite de T(t) quando t → ∞. Explique o significado físico desse valor para o funcionamento do equipamento.

c) Calcule a taxa de variação da temperatura T′(t) nos instantes t = 0, t = 10 e t = 40 minutos.
A temperatura será considerada estável quando T′(t) < 0,05 ºC/min.
Com base nisso, estime o tempo necessário para atingir a estabilização térmica e justifique sua resposta.

d) Calcule a temperatura T(t) no tempo estimado para estabilização.
Compare esse resultado com o valor obtido na letra b e interprete o significado dessa diferença para a operação do equipamento.

e) Considere que o consumo total de energia do equipamento (em J) corresponde à área sob a curva do gráfico a seguir.
Determine o consumo total até 20 minutos.