Considerando que o reservatório possui capacidade máxima de 12000 L, determine em quanto tempo o reservatório atingirá sua capacidade máxima.

MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem
 
O cálculo, em parte por razões históricas, costuma ser dividido em dois ramos: o diferencial e o integral. Esse assunto foi desenvolvido no século XVII para resolver dois problemas geométricos importantes: encontrar retas tangentes a curvas (cálculo diferencial) e calcular a área abaixo de curvas (cálculo integral). Contudo, o cálculo é um assunto muito vasto, sem fronteiras bem delimitadas.

Fonte: ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. 

O cálculo diferencial e integral é uma importante ferramenta matemática utilizada para compreender, modelar e solucionar situações presentes tanto no cotidiano quanto no ambiente profissional. Imagine que você faça parte de uma equipe de engenharia responsável pelo planejamento de um sistema de armazenamento de água para atender a uma pequena unidade industrial. Durante o projeto, sua equipe analisa o comportamento do volume de água em um reservatório, prevê sua variação ao longo do tempo e determina condições para utilizar o sistema de maneira mais eficiente.

O reservatório possui capacidade máxima de 12.000 litros. A quantidade de água armazenada varia ao longo do tempo devido à entrada e à saída de água. Considere que o comportamento do volume seja aproximado pelo modelo:

V (t) = 2000 + 600 t + 200 t²

em que t representa o tempo, em horas, e V(t) representa o volume de água armazenado, em litros.
Como integrante da equipe de engenharia, analise matematicamente o sistema e apresente conclusões que possam auxiliar na tomada de decisões do projeto.
 
Parte 1.
Considerando que o reservatório possui capacidade máxima de 12000 L, determine em quanto tempo o reservatório atingirá sua capacidade máxima.
 
Parte 2.
A equipe percebeu que é necessário conhecer a velocidade com que o volume de água está aumentando. Para isso, calcule também V′(2) e V′(5), compare os resultados e explique o que essa comparação revela sobre o comportamento do sistema.
 
Parte 3.
Durante a operação do reservatório, a equipe de engenharia precisa estabelecer um procedimento de segurança. O sistema de bombeamento deve ser monitorado quando a taxa de aumento do volume atingir 3000 L/h, pois, a partir desse ponto, a entrada de água ocorre em uma velocidade considerada elevada para o sistema. Determine o instante t em que a taxa de aumento do volume atinge 3000 L/h.
 
Parte 4.
Após algumas alterações no sistema, a equipe decidiu analisar a quantidade total de água que entra no reservatório durante determinado intervalo de tempo.
Considere que a taxa de entrada de água seja representada por:

q (t) = 600 + 400 t

em que q(t) é dada em litros por hora.
A equipe deseja determinar a quantidade de água que entrou no reservatório entre 2 e 5 horas. Sabe-se que essa quantidade a ser calculada é representada pela área abaixo da curva do gráfico q(t) no intervalo delimitado, conforme a Figura 1.


Figura 1 – Gráfico da função q(t)
Fonte: o autor.
 
Utilizando o conceito de integral definida, determine a quantidade total de água que entrou no reservatório entre t = 2 h e t = 5 h.