As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é

ATIVIDADE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR – 53/2023

As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma “lei” que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F.
Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:

T: R³ –> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y – z, x + y)

(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.

(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?

(c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?

(d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?

(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?

(f) Qual a matriz da Transformação?

(g) Quais seus autovalores?

(h) Quais seus autovetores?