Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo. Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que mudam em resposta a regras ou equações específicas. Sistemas dinâmicos são usados para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais, desde a mecânica clássica até a economia e a biologia.

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MAPA – GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR – 53_2024

ETAPA 1 – SISTEMA LINEAR E MATRIZES

Considere o sistema a seguir:

E₁ = x + 4y
E₂ = 2x – 3y

a) Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E₁ e E₂?
b) Qual o determinante da matriz de “a”?
c) Qual a matriz inversa da matriz de “a”?

ETAPA 2 – TRANSFORMAÇÔES LINEARES

Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura aditiva e multiplicativa desses espaços. Essas transformações são fundamentais em muitas áreas da matemática e física, fornecendo uma maneira de modelar e analisar fenômenos lineares de maneira sistemática e estruturada.

Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
T (x,y) = (E₁ ,E₂)

a) Qual a transformação de (1,2)?
b) Qual a transformação de (-1,-1)?
c) Qual a transformação de (-3,4)?
d) Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?
e) Qual a imagem da T.L e sua dimensão?

ETAPA 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES

Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação linear. Especificamente, se A é uma matriz n×n, então um escalar λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo v tal que a aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta em um múltiplo escalar desse vetor.

a) Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2?
b) Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2?
c) Sabendo que, para ser estável, todos os autovalores devem ser negativos, o sistema é estável ou instável?